최근에 일품 기하와 백터를 풀다가 삼각함수로 일일히 좌표를 구해서 벡터를 직접 구해서 푸는 문제가 나오더라고요. 이때 선생님께서 회전변환을 알려주셔서 간단하게 정리해보려고 합니다.



  위와 같이 $x^2 + y^2 = r^2$ 인 원이 있고 원 위의 한 점을 $B$ 라고 잡습니다. 그리고 점 $B$ 에서 $x$ 축으로 수선의 발을 내린 것을 점 $C$ 라고 잡고, $\overline{BC} // \overline{AD}$, $\overline{BC} = \overline{AD}$ 인 점 $D$ 를 잡습니다. 이때 $\Box ACBD$ 가 직사각형이 되기 때문에 $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{AD}$ 가 됩니다. $B = \left(x, y\right)$ 라 하면, $C = \left(x, 0\right), D = \left(0, y\right)$ 입니다.


  자 이제, 점 $A$ 를 기준으로 점 $B$ , 점 $C$ , 점 $D$ 를 $\theta$ 만큼 시계 반대 방향으로 회전시킵니다. 회전시킨 후 점들은 각각 점 $B'$ , 점 $C'$ , 점 $D'$ 라고 합시다. 이때 $C' = \left(x \cos \theta, x \sin \theta \right), D' = \left(y \cos \left({\pi \over 2} + \theta \right), y \sin \left({\pi \over 2} + \theta \right) \right)$ 입니다. $\overrightarrow{AC'} + \overrightarrow{AD'} = \overrightarrow{AB'}$ 이므로

$$ \begin{align*} B' &= \left(x \cos \theta + y \cos \left({\pi \over 2} + \theta \right), x \sin \theta + y \sin \left({\pi \over 2} + \theta \right) \right) \\ &= \left( x \cos \theta - y \sin \theta, x \sin \theta + y \cos \theta \right) \end{align*} $$

이 됩니다.


  따라서 어떤 점의 좌표를 $\left(x, y\right)$ , 이를 $\theta$ 만큼 회전변환시킨 좌표를 $\left(x', y'\right)$ 라 하고, 이를 행렬로 정리해보면,

$$ \begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \cos \theta & - \sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} $$

가 됩니다.


... 2차원에서 이렇게 증명(?)한 것을 토대로, 3차원으로 회전변환을 확대시키고 싶긴 한데 제가 기하를 못해서... 당장 머릿속으로는 유도하기가 쉽지가 않네요. 나중에 가능하면 해보겠습니다.


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