블로그에 재미난 글을 써보려고 고민을 좀 하다가 문득 제가 요즘 즐기는 게임인 PLAYERUNKNOWN'S BATTLEGROUND(이하 배그)에서 나오는 여러 가지 현상을 물리학적으로 나름 엄밀하게(기준은 최소 고등학교 물I, 물II) 분석해보면 재미있을 거 같아서 새로운 주제의 글을 쓰게 되었습니다. 물I, 물II에서 재미없게 배운 물리학 지식을 이런 곳에서 적용해보면 나름 좋을 거 같아서 말입니다. 그래서 오늘 쓰는 글은 배그에서 가장 처음으로 만날 수 있는 물리학적 현상인 '종단 속도'입니다.

- 배그에서 낙하 속도는 최대 234km/h가 나온다. -

 

  물II에서 포물선 운동을 배울 때 자유낙하라는 것을 배우긴 하지만, 이때는 공기 저항을 고려하지 않기 때문에 단순히 연직방향으로 중력가속도만 작용해서 등가속도 직선 운동을 합니다. 하지만 현실 세계에는 공기 저항이 작용하여 어느 이상의 속력을 내지 못하도록 만들죠. 만약 물II에서 배운 것처럼 공기 저항 없는 자유 낙하가 현실 세계에서 성립했다면, 빗방울 맞고도 골로 가겠죠. 물II에서 배우진 않았지만, 현실 세계에서 공기 저항이 존재한다는 것은 누구나 아는 사실입니다. 그런데 과연 배그에 나오는 종단 속도 234km/h는 정말 현실 세계에서도 똑같이 나올까요?


  먼저 이를 물리적으로 엄밀하게 분석하려면 자유 낙하하는 신체에는 어떤 힘이 작용하는지 알아봐야 합니다. 먼저, 중력이 작용할테고, 물I 유체역학 부분에서 배운 부력도 작용하고, 공기 저항으로 인해 발생하는 항력(drag force)이 있을 것입니다. 각 힘을 $F_g, F_b, F_d$ 라 하면 아래와 같이 표현할 수 있습니다.

 

이제 수식으로 정리해서 종단 속도를 유도해내면 됩니다. 하지만 고등학교 과정에서 항력은 배우지 않았기 때문에 좀 찾아봤습니다. 항력 공식은 아래와 같습니다.

$$F_d  = -\frac{1}{2}\rho v^2 A C_d \hat{\mathrm{v}} $$

설명을 하자면, $\rho$는 유체의 밀도, $v$는 유체에 대한 물체의 상대 속도, $A$는 운동 방향에 수직인 평면에 대한 정사영 면적, $C_d$는 항력 계수, $\hat{\mathrm{v}}$는 속도의 방향을 나타낸 단위 벡터입니다.

 

이제 이들 공식을 이용해서 운동 방정식을 세워보면 다음과 같습니다.

$$F_d + F_b + F_g = ma$$

$$-\frac{1}{2}\rho v^2 A C_d \hat{\mathrm{v}} - \rho g V + mg = ma$$

이때 $a = 0$ 일 때 힘의 평형을 이루므로 종단속도를 가지게 됩니다. 따라서 식을 정리해보면 아래와 같습니다.

$$v = \sqrt{\frac{2\left(mg - \rho g V  \right)}{\rho A C_d}}$$

 

[2] 자료를 참고해서 상수를 아래와 같이 결정해보고 구해보겠습니다.

$m$: 70kg

$g$: 9.8m/s2

$C_d$: 0.7

$\rho$: 1 kg/m3

$A$:  0.18 m2(머리 방향으로 낙하할 때)

$V$: 0.075 m3 ([3]에서 인체의 평균 밀도 참고)

 

$$v = \sqrt{\frac{2\left( 70 \times 9.8 - 1 \times 9.8 \times 0.075\right)}{1 \times 0.18 \times 0.7}}  = 약\ 104.29 m/s = 375.444 km/h$$

* 사실 부력은 되게 작아서 없다고 보고 계산해도 됩니다.

 

흠 생각보다 더 빠르게 나오네요. [2]에 따르면 배를 아래로 했을 경우에는 200 km/h, 머리를 향했을 때 240~290 km/h가 나오고 항력을 최소한으로 했을 때가 480 km/h 나온다네요. 인체의 몸에 맞게 $C_d$를 좀 더 수정하면 실제 값에 가까워질 거 같네요.

 

  다음으론 단순히 종단 속도만 구하긴 아쉬우니까 어떻게 가속이 되어 종단 속도까지 도달하는지 분석해봅시다. 위에 있는 운동 방정식에서 a = 0으로 두지 않고 미분 방정식을 풀면 됩니다. 1계 비선형 미분방정식인 거 같네요. 어떻게 풀질 몰라서 WolframAlpha를 참고하면서 풀어봤습니다.


일단 아래와 같이 상수를 좀 줄여서 깔끔하게 한 상태로 방정식을 정리하고 풀어봤습니다.

$$ a = -\frac{1}{2}\rho A C_d,\ b = - \rho g V + mg,\  c = m \\ a v^2 + b = c \frac{dv}{dt}\\ 1 = \frac{c}{av^2 + b} \frac{dv}{dt}\\ \int\, dt = \frac{c}{b} \int \frac{1}{\frac{a}{b} v^2 + 1}\, dv \\ \sqrt{\frac{a}{b}} v = \tan u,\ \sqrt{\frac{a}{b}}\ dv = \sec^2 u\ du \\ \begin{align} \frac{c}{b} \int \frac{1}{\frac{a}{b} v^2 + 1}\ dv &= \frac{c}{b} \times \sqrt{\frac{b}{a}} \int \frac{\sec^2 u}{\tan^2 u + 1} \, du \\ &= \frac{c}{b} \times \sqrt{\frac{b}{a}} \int\, du \\ &= \frac{c}{b} \times \sqrt{\frac{b}{a}} \tan^{-1}\left(\sqrt{\frac{a}{b}} v\right) + C \end{align} \\\\  t = \frac{c}{b} \times \sqrt{\frac{b}{a}} \tan^{-1}\left(\sqrt{\frac{a}{b}} v\right) + C \\ \therefore v = \sqrt{\frac{b}{a}} \tan \left(\frac{\sqrt{ab}}{c}\left(t + C\right)\right)$$


이때, $t = 0$일 때 $v = 0$ 이므로, 속도는 아래와 같습니다.

$$v = \sqrt{\frac{b}{a}} \tan \left(\frac{\sqrt{ab}}{c}t \right)$$

(어째 tan 함수인게 불안한데...)


이제 위의 상수값을 대입하여 a, b, c의 값을 계산하고 정리하여 속도 방정식을 완성해보겠습니다.

$$a = -\frac{1}{2}\rho A C_d = -\frac{1}{2} \times 1 \times 0.18 \times 0.7 = -0.063 \\ b = - \rho g V + mg = - 1 \times 9.8 \times 0.075 + 70 \times 9.8 = 685.265 \\ c = m = 70 \\ \therefore v = -104.29 i \tan \left(0.09i\ t \right)$$

* 104.29i 가 아니라 -104.29i인 이유는 $a < 0, b > 0$에서 $\sqrt{\frac{b}{a}} = \sqrt{\frac{b}{-a}} \times \frac{1}{i} = - i \sqrt{\frac{b}{-a}}$ 이기 때문입니다. 이거 덕분에 함수가 음수 나와서 20분 동안 고민했네요;;; 역시 수1 같은 기초를 열심히 해둬야...


아무튼 이렇게 상수까지 다 때려박아보니 속도가 한없이 증가할 거 같이 생긴 tan 함수에 고2 이후론 거의 보지도 못한 i가 함수 안쪽과 바깥쪽에 등장하고 있네요. 뭔가 싶어서 WolframAlpha에 때려 넣어보니 tanh 함수로 바꿔줍니다. 따라서 아래와 같이 됩니다.

$$v = 104.29 \tanh \left(0.09\ t \right)$$


그려보면 아래와 같습니다. (x축이 시간(s)축, y축이 속도(m/s)축)


이렇게 해서 종단 속도도 구해보고, 시간에 따라 실제 낙하 속도가 어떻게 변하는지 확인해봤습니다. 다음 번에는 뭘 해볼지 고민 해봐야 겠습니다.

(정작 종단 속도 구하는 것보다 미방 푸는데 시간을 훨씬 많이 쓴 듯)


참고 자료

[1] https://ko.wikipedia.org/wiki/%ED%95%AD%EB%A0%A5

[2] https://en.wikipedia.org/wiki/Speed_skydiving

[3] https://en.wikipedia.org/wiki/Orders_of_magnitude_(density)

  1. Minjae Isaac Kwon 2018.04.01 14:00 신고

    F_r 이 v^2 = (dx/dt)^2 에 Dependent 하도록 풀면 (2계도) 비선형 미방이라 ♩♩♬맞습니다.
    그냥 근사 쳐서 v=dx/dt 에 맞게 풀면 일반해도 있고 리니어텀이라서 공간차원 추가해도 먹고 살기 편합니다.
    (2계도 2차 비선형 미방은 2차원으로 가는순간 수치해석밖에 노답)

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