블로그에 재미난 글을 써보려고 고민을 좀 하다가 문득 제가 요즘 즐기는 게임인 PLAYERUNKNOWN'S BATTLEGROUND(이하 배그)에서 나오는 여러 가지 현상을 물리학적으로 나름 엄밀하게(기준은 최소 고등학교 물I, 물II) 분석해보면 재미있을 거 같아서 새로운 주제의 글을 쓰게 되었습니다. 물I, 물II에서 재미없게 배운 물리학 지식을 이런 곳에서 적용해보면 나름 좋을 거 같아서 말입니다. 그래서 오늘 쓰는 글은 배그에서 가장 처음으로 만날 수 있는 물리학적 현상인 '종단 속도'입니다.

- 배그에서 낙하 속도는 최대 234km/h가 나온다. -

 

  물II에서 포물선 운동을 배울 때 자유낙하라는 것을 배우긴 하지만, 이때는 공기 저항을 고려하지 않기 때문에 단순히 연직방향으로 중력가속도만 작용해서 등가속도 직선 운동을 합니다. 하지만 현실 세계에는 공기 저항이 작용하여 어느 이상의 속력을 내지 못하도록 만들죠. 만약 물II에서 배운 것처럼 공기 저항 없는 자유 낙하가 현실 세계에서 성립했다면, 빗방울 맞고도 골로 가겠죠. 물II에서 배우진 않았지만, 현실 세계에서 공기 저항이 존재한다는 것은 누구나 아는 사실입니다. 그런데 과연 배그에 나오는 종단 속도 234km/h는 정말 현실 세계에서도 똑같이 나올까요?


  먼저 이를 물리적으로 엄밀하게 분석하려면 자유 낙하하는 신체에는 어떤 힘이 작용하는지 알아봐야 합니다. 먼저, 중력이 작용할테고, 물I 유체역학 부분에서 배운 부력도 작용하고, 공기 저항으로 인해 발생하는 항력(drag force)이 있을 것입니다. 각 힘을 $F_g, F_b, F_d$ 라 하면 아래와 같이 표현할 수 있습니다.

 

이제 수식으로 정리해서 종단 속도를 유도해내면 됩니다. 하지만 고등학교 과정에서 항력은 배우지 않았기 때문에 좀 찾아봤습니다. 항력 공식은 아래와 같습니다.

$$F_d  = -\frac{1}{2}\rho v^2 A C_d \hat{\mathrm{v}} $$

설명을 하자면, $\rho$는 유체의 밀도, $v$는 유체에 대한 물체의 상대 속도, $A$는 운동 방향에 수직인 평면에 대한 정사영 면적, $C_d$는 항력 계수, $\hat{\mathrm{v}}$는 속도의 방향을 나타낸 단위 벡터입니다.

 

이제 이들 공식을 이용해서 운동 방정식을 세워보면 다음과 같습니다.

$$F_d + F_b + F_g = ma$$

$$-\frac{1}{2}\rho v^2 A C_d \hat{\mathrm{v}} - \rho g V + mg = ma$$

이때 $a = 0$ 일 때 힘의 평형을 이루므로 종단속도를 가지게 됩니다. 따라서 식을 정리해보면 아래와 같습니다.

$$v = \sqrt{\frac{2\left(mg - \rho g V  \right)}{\rho A C_d}}$$

 

[2] 자료를 참고해서 상수를 아래와 같이 결정해보고 구해보겠습니다.

$m$: 70kg

$g$: 9.8m/s2

$C_d$: 0.7

$\rho$: 1 kg/m3

$A$:  0.18 m2(머리 방향으로 낙하할 때)

$V$: 0.075 m3 ([3]에서 인체의 평균 밀도 참고)

 

$$v = \sqrt{\frac{2\left( 70 \times 9.8 - 1 \times 9.8 \times 0.075\right)}{1 \times 0.18 \times 0.7}}  = 약\ 104.29 m/s = 375.444 km/h$$

* 사실 부력은 되게 작아서 없다고 보고 계산해도 됩니다.

 

흠 생각보다 더 빠르게 나오네요. [2]에 따르면 배를 아래로 했을 경우에는 200 km/h, 머리를 향했을 때 240~290 km/h가 나오고 항력을 최소한으로 했을 때가 480 km/h 나온다네요. 인체의 몸에 맞게 $C_d$를 좀 더 수정하면 실제 값에 가까워질 거 같네요.

 

  다음으론 단순히 종단 속도만 구하긴 아쉬우니까 어떻게 가속이 되어 종단 속도까지 도달하는지 분석해봅시다. 위에 있는 운동 방정식에서 a = 0으로 두지 않고 미분 방정식을 풀면 됩니다. 1계 비선형 미분방정식인 거 같네요. 어떻게 풀질 몰라서 WolframAlpha를 참고하면서 풀어봤습니다.


일단 아래와 같이 상수를 좀 줄여서 깔끔하게 한 상태로 방정식을 정리하고 풀어봤습니다.

$$ a = -\frac{1}{2}\rho A C_d,\ b = - \rho g V + mg,\  c = m \\ a v^2 + b = c \frac{dv}{dt}\\ 1 = \frac{c}{av^2 + b} \frac{dv}{dt}\\ \int\, dt = \frac{c}{b} \int \frac{1}{\frac{a}{b} v^2 + 1}\, dv \\ \sqrt{\frac{a}{b}} v = \tan u,\ \sqrt{\frac{a}{b}}\ dv = \sec^2 u\ du \\ \begin{align} \frac{c}{b} \int \frac{1}{\frac{a}{b} v^2 + 1}\ dv &= \frac{c}{b} \times \sqrt{\frac{b}{a}} \int \frac{\sec^2 u}{\tan^2 u + 1} \, du \\ &= \frac{c}{b} \times \sqrt{\frac{b}{a}} \int\, du \\ &= \frac{c}{b} \times \sqrt{\frac{b}{a}} \tan^{-1}\left(\sqrt{\frac{a}{b}} v\right) + C \end{align} \\\\  t = \frac{c}{b} \times \sqrt{\frac{b}{a}} \tan^{-1}\left(\sqrt{\frac{a}{b}} v\right) + C \\ \therefore v = \sqrt{\frac{b}{a}} \tan \left(\frac{\sqrt{ab}}{c}\left(t + C\right)\right)$$


이때, $t = 0$일 때 $v = 0$ 이므로, 속도는 아래와 같습니다.

$$v = \sqrt{\frac{b}{a}} \tan \left(\frac{\sqrt{ab}}{c}t \right)$$

(어째 tan 함수인게 불안한데...)


이제 위의 상수값을 대입하여 a, b, c의 값을 계산하고 정리하여 속도 방정식을 완성해보겠습니다.

$$a = -\frac{1}{2}\rho A C_d = -\frac{1}{2} \times 1 \times 0.18 \times 0.7 = -0.063 \\ b = - \rho g V + mg = - 1 \times 9.8 \times 0.075 + 70 \times 9.8 = 685.265 \\ c = m = 70 \\ \therefore v = -104.29 i \tan \left(0.09i\ t \right)$$

* 104.29i 가 아니라 -104.29i인 이유는 $a < 0, b > 0$에서 $\sqrt{\frac{b}{a}} = \sqrt{\frac{b}{-a}} \times \frac{1}{i} = - i \sqrt{\frac{b}{-a}}$ 이기 때문입니다. 이거 덕분에 함수가 음수 나와서 20분 동안 고민했네요;;; 역시 수1 같은 기초를 열심히 해둬야...


아무튼 이렇게 상수까지 다 때려박아보니 속도가 한없이 증가할 거 같이 생긴 tan 함수에 고2 이후론 거의 보지도 못한 i가 함수 안쪽과 바깥쪽에 등장하고 있네요. 뭔가 싶어서 WolframAlpha에 때려 넣어보니 tanh 함수로 바꿔줍니다. 따라서 아래와 같이 됩니다.

$$v = 104.29 \tanh \left(0.09\ t \right)$$


그려보면 아래와 같습니다. (x축이 시간(s)축, y축이 속도(m/s)축)


이렇게 해서 종단 속도도 구해보고, 시간에 따라 실제 낙하 속도가 어떻게 변하는지 확인해봤습니다. 다음 번에는 뭘 해볼지 고민 해봐야 겠습니다.

(정작 종단 속도 구하는 것보다 미방 푸는데 시간을 훨씬 많이 쓴 듯)


참고 자료

[1] https://ko.wikipedia.org/wiki/%ED%95%AD%EB%A0%A5

[2] https://en.wikipedia.org/wiki/Speed_skydiving

[3] https://en.wikipedia.org/wiki/Orders_of_magnitude_(density)

  1. Minjae Isaac Kwon 2018.04.01 14:00 신고

    F_r 이 v^2 = (dx/dt)^2 에 Dependent 하도록 풀면 (2계도) 비선형 미방이라 ♩♩♬맞습니다.
    그냥 근사 쳐서 v=dx/dt 에 맞게 풀면 일반해도 있고 리니어텀이라서 공간차원 추가해도 먹고 살기 편합니다.
    (2계도 2차 비선형 미방은 2차원으로 가는순간 수치해석밖에 노답)

  중3때 삼각비라는 부분에서 sin, cos, tan을 배웁니다. 특수각인 0°, 30°, 45°, 60°, 90°에서의 sin, cos, tan값을 배우죠. 고2에 오면 이과 과정 미적분 II에서 삼각함수 단원에서 좀 더 자세히 배웁니다. 60분법 대신에 호도법을 사용하며 정의역도 실수 전체로 확장하죠. 삼각함수 덧셈, 뺄셈정리를 통해 15°, 75° 등의 각을 삼각함수의 특수각 값을 이용하여 구하죠. 하지만 현실에서 각도는 특수각의 합, 차, 1/2만 존재하지 않습니다. 6°, 34.5° 등의 일반적인 각에서 우리는 삼각함수의 값을 구할 필요가 있을 때가 있죠. 그러나 우리가 배운 내용으로는 이러한 값을 구할 수 없습니다. 그러나 컴퓨터는 이러한 값들을 아주 손쉽게 계산해냅니다. 어떻게 계산해내는 걸까요?


  그 과정을 알아보기 위하여 C언어의 math.h에서 사용하는 삼각함수 라이브러리(glibc)를 뜯어보았습니다. C언어에서는 math.h를 include하여 sin, cos, tan 등의 삼각함수를 사용할 수 있습니다. 이 링크에서 아래 코드의 원본을 보실 수 있습니다.

/* k_sinf.c -- float version of k_sin.c
 * Conversion to float by Ian Lance Taylor, Cygnus Support, ian@cygnus.com.
 */

/*
 * ====================================================
 * Copyright (C) 1993 by Sun Microsystems, Inc. All rights reserved.
 *
 * Developed at SunPro, a Sun Microsystems, Inc. business.
 * Permission to use, copy, modify, and distribute this
 * software is freely granted, provided that this notice 
 * is preserved.
 * ====================================================
 */

#if defined(LIBM_SCCS) && !defined(lint)
static char rcsid[] = "$NetBSD: k_sinf.c,v 1.4 1995/05/10 20:46:33 jtc Exp $";
#endif

#include <math.h>
#include <math_private.h>

static const float 
half =  5.0000000000e-01,/* 0x3f000000 */
S1  = -1.6666667163e-01, /* 0xbe2aaaab */
S2  =  8.3333337680e-03, /* 0x3c088889 */
S3  = -1.9841270114e-04, /* 0xb9500d01 */
S4  =  2.7557314297e-06, /* 0x3638ef1b */
S5  = -2.5050759689e-08, /* 0xb2d72f34 */
S6  =  1.5896910177e-10; /* 0x2f2ec9d3 */

float __kernel_sinf(float x, float y, int iy)
{
    float z,r,v;
    int32_t ix;
    GET_FLOAT_WORD(ix,x);
    ix &= 0x7fffffff;           /* high word of x */
    if(ix<0x32000000)           /* |x| < 2**-27 */
       {if((int)x==0) return x;}        /* generate inexact */
    z   =  x*x;
    v   =  z*x;
    r   =  S2+z*(S3+z*(S4+z*(S5+z*S6)));
    if(iy==0) return x+v*(S1+z*r);
    else      return x-((z*(half*y-v*r)-y)-v*S1);
}

  이 kernel_sin을 사용하여 실제의 sin함수를 구현하는 부분인 s_sinf.c 코드를 보면 $-{\pi \over 4} < x < {\pi \over 4}$ 에서는 간단히 iy = 0으로 정의되어 있을 것을 볼 수 있으니 iy = 0일 때 알고리즘을 살펴봅시다. 크기가 크지 않으니 z, v, r을 계산하여 x + v * (S1 + z * r)을 계산하여 넘기는 것으로 볼 수 있습니다. 이를 식으로 정리해보면 아래와 같습니다.

$$ \sin x = x + S1 x^3 + S2 x^5 + S3 x^7 + S4 x^9 + S5 x^{11} + S6 x^{13} $$


  이제 위에 하드코딩된 값을 대입하여 이 그래프를 그려보겠습니다. Legend에 나와있는 것처럼 f(x)가 위의 함수고, sin(x)는 Mathmatica 기본 내장 함수입니다.


사실상 일치해서 sin(x) 값이 다 덮어씌운 것만 보입니다. 이제 정의역을 f(x)에 정의된 것보다 좀 더 늘려볼까요?

정의역을 $-2\pi < x < 2\pi$ 까지 늘려봤습니다. 이제는 어느정도 차이가 두드러지게 나타나네요! 실제 sin 함수를 구현하는 s_sinf.c 코드를 보시면 $-{\pi \over 4} < x < {\pi \over 4}$ 이외에는 오류처리거나 reduction을 통해 표현하는 것을 볼 수 있습니다. 왜냐면 sin은 $0 \le x \le {\pi \over 4}$ 만 알면 정의역이 모든 실수일 때 정의할 수 있기 때문입니다.


  위와 같이 다항식으로 해석함수(고등학교 과정에서는 무한히 미분 가능한 함수 정도? 자세한 건 맨 아래에 있습니다)를 표현하는 것을 테일러 급수(Taylor series)라고 합니다. 이제 테일러 급수가 어떻게 미분 가능한 함수를 표현하는지 알아봅시다. 일단 미분 가능한 함수에 대한 n차 근사식을 $p_n(x)$ 라고 합시다. 그리고 우리는 한 점 $\left(x_0,\ f(x_0)\right)$ 과 그 점에 대한 미분계수( $f'(x)$ )가 주어졌을 때 그 점에서의 접선을 나타낼 수 있습니다 공식은 아래와 같죠.

$$ p_1(x) = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$$


이 공식에서 우리는 아래와 같은 성질을 찾을 수 있습니다.

$$ p_1(x_0) = f(x_0),\ p_1'(x_0) = f'(x_0) $$


따라서 이와 같은 성질을 이용하여 이번엔 2차 다항식에서 근사식을 만들어봅시다. 위의 성질을 사용하면 아래와 같은 조건을 만족하는 $p_2(x)$ 를 구해야겠죠.

$$ p_2(x_0) = f(x_0),\ p_2'(x_0) = f'(x_0),\ p_2''(x_0) = f''(x_0) $$


이에 대해 만족하는 식을 구하면 아래와 같습니다.

$$ p_2(x) = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0) + {f''(x_0) \over 2}(x - x_0)^2 $$


이와 같은 방식을 계속 반복하면 n차 미분한 식을 $f^n(x)$ 라고 했을 때 아래와 같은 n차 근사식을 구할 수 있습니다.

$$ p_n(x) = \sum^n_{k=0}{f^k(x - x_0)^k \over k!} $$


이때 아래와 같은 표현으로 $f(x)$ 를 나타내는데, 이 표현을 테일러 정리라고 하며 $R_n$ 을 나머지 항이라고 부릅니다.

$$ \begin{align*} f(x) &= p_n(x) + R_n \\&= f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0) + {f''(x_0) \over 2}(x - x_0)^2 + \cdots + {f^{n + 1}(x_0) \over (n + 1)!}(x - x_0)^{n + 1} \end{align*} \\ R_n(x) = {f^{n + 1}(x_0) \over (n + 1)!}(x - x_0)^{n + 1}$$


나머지항은 일종의 테일러 정리의 식과 실제 $f(x)$ 의 식 간의 차이(오류)를 보여주므로, $R_n(x)$ 가 $n = \infty$ 일 때 0으로 수렴하면 테일러 정리의 식과 실제 식과 같아지므로 이때 우리는 위 무한급수를 테일러 급수라고 하며, 특별히 $x_0 = 0$ 인 경우에는 매클로린 급수라고 합니다.


이러한 방식으로 테일러 급수를 유도해낼 수 있는데, 수학적으로 엄밀하게 증명해보려면 미분법과 적분법을 사용하는 방법이 있습니다. 굳이 쓸 필요는 없어 보여서 이 링크를 참고하시기 바랍니다. 검색해도 잘 나와요.


자, 이제 대략적으로 테일러 급수에 대한 내용을 정리해보았습니다. 이제 그러면 적용을 해봅시다. 위에서 예시를 든 것처럼 $\sin x$ 에 대해서 테일러 급수를 써봅시다. 아래 그래프는 $\sin x$ 의 그래프(검정)와, $x_0 = 0$ 에서 테일러 급수의 1차(빨강), 3차(주황), 5차(노랑), 7차(초록), 9차(파랑), 11차(보라) 항까지 합한 것의 그래프입니다.

보이는 것처럼 합하는 항수가 커질수록 실제 $\sin x$ 에 다가가는 것을 볼 수 있습니다.


이제 다음으로 파데 근사(Padé approximant)에 대해 써보려고 합니다. 어떤 함수를 다항식으로 표현한 것이 테일러 급수라면, 어떤 함수를 유리식으로 표현한 것이 파데 근사입니다. 테일러 급수의 일반화이며 상위호환이라고 하는 거 같네요. 음이 아닌 정수 $m,\ n$에 대하여 파데 근사의 꼴은 아래와 같습니다. 이때 $n = 0$ 이 되면 매클로린 급수와 같게 됩니다.

$$ R(x)_{m/n} = {\sum_{j=0}^m{a_jx^j} \over 1 + \sum_{i=1}^n{b_kx^k}} $$


...파데 근사 계산을 한 번 해서 정리해보고 싶었는데 내용 이해가 잘 안 되는 관계로(쿨럭) 링크는 남겨둘테니 궁금하신 분들은 여기서 살펴보세요. 계산법을 제대로 이해하긴 힘들거 같고, 대신에 Mathematica에서 PadeApproximant를 함수로 제공하기 때문에 이것으로 $x_0=0$ 일 때 계산한 $\sin x$ 를 아래 표로 정리해보았습니다.

 m\n

1(빨강)

3(주황)

5(초록)

7(파랑)

 0(0)

$x$

$x-\frac{x^3}{6}$

 $x-\frac{x^3}{6}+\frac{x^5}{120}$

$x-\frac{x^3}{6}+\frac{x^5}{120}-\frac{x^7}{5040}$

 2(0.3)

 $\dfrac{x}{1 + \frac{x^2}{6}}$

 $\dfrac{x - \frac{7x^3}{60}}{1 + \frac{x^2}{20}}$

$\dfrac{x - \frac{x^3}{7} + \frac{11x^5}{2520}}{1 + \frac{x^2}{42}}$

 $\dfrac{x - \frac{11x^3}{72} + \frac{13x^5}{2160} - \frac{x^7}{12096}}{1 + \frac{x^2}{72}}$

 4(0.7)

  $\dfrac{x}{1 + \frac{x^2}{6} + \frac{7x^4}{360}}$

$\dfrac{x - \frac{31x^3}{294}}{1 + \frac{3x^2}{49}+\frac{11x^4}{5880}}$

 $\dfrac{x - \frac{53x^3}{396} + \frac{551x^5}{166320}}{1 + \frac{13x^2}{396} + \frac{5x^4}{11088}}$

 $\dfrac{x - \frac{241x^3}{1650} + \frac{601x^5}{118800} - \frac{121x^7}{2268000}}{1 + \frac{17x^2}{825} + \frac{19x^4}{118800}}$


그래프로 나타내면 아래와 같습니다. 조금 굵은 검정 선은 $\sin x$ 그래프이고, n 옆에 써 있는 색상에 m 옆에 써 있는 어두움을 가진 선이 그 (m, n)의 파데 근사 그래프입니다.

(무슨 그래픽 기교하는 줄)

이렇게 컴퓨터는 함수를 근사하여 계산합니다. 나중에 기회가 되면 파데 근사를 좀 더 조사해서 올려보도록 하겠습니다.


p.s 참고 자료: Introduction to Numerical Analysis - Alastair Wood, 위키백과-테일러 급수, 네이버 지식백과, 네이버캐스트, 위키백과-파데 근사, WolframMathWorld-Padé Approximant

  학교에서 본 미적분 영상에서 최단강하곡선 문제에 대한 이야기를 봐서 이번 글에선 이 내용을 다뤄보려고 합니다. 최단강하곡선은 2차원 상에 주어진 두 점을 잇는 곡선 중에서 두 점 중 높은 곳에 물체를 올려뒀을 때 가장 빨리 낮은 곳으로 내려가는 곡선입니다. 역사적으로 보면 1689년에 요한 베르누이가 유럽의 최고 수학자들에게 보냈다는 문제로 유명하죠. 사실 이 문제는 베르누이가 뉴턴을 시험해보려던 문제였는데, 뉴턴은 퇴근 후 몇 시간 끄적거려서 풀어내고 익명으로 풀이를 보냈죠. 이름 없는 풀이를 본 베르누이는 뉴턴인 것을 알아봤다고 합니다.



(이거 만드느라 2시간 쓴 건 함정) (검정: 선분, 파란색: 사이클로이드, 빨간색: 호)


  위 그림이 최단강하곡선 문제를 시각적으로 나타낸 것입니다. $(0, 1)$에서 $(1, 0)$까지 이은 여러 곡선(곡선의 정의에 따라 선분도 포함됩니다) 중에서 간단히 호, 선분, 그리고 이 글의 주인공인 사이클로이드를 그려봤습니다. 언핏 봤을 땐 직선으로 내려가는게 가장 빠르다고 생각할 수도 있습니다. 하지만 이 직관이라는 것은 생각보다 신뢰도가 떨어지고, 무엇보다 수학은 직관으로 시작할 수는 있어도 직관으로만 결과를 도출해내는 것은 대단히 위험하기 때문에 이제 과연 어떤 곡선이 최단강하곡선인지 유도해낼 것입니다.


  일단 이 최단강하곡선을 유도해내기 전에 이 문제를 통해 새롭게 탄생한 변분법이라는 것을 알아야합니다. 변분법이란 범함수(함수 집합을 정의역으로 하는 함수)의 최대 또는 최소를 구해내는 방법입니다. 이 변분법을 쓰는 예로는 여기서 소개하는 사이클로이드의 유도, 평면에 있는 두 점을 잇는 곡선 유도 등이 있습니다. 이제 저는 변분법에서 쓰이는 오일러-라그랑주 방정식을 통해 이 문제를 해결할 겁니다.




  먼저 중력의 방향을 위 이미지처럼 $+y$ 방향이라고 잡고 어떤 두 점 $A(0, 0),\ B(x_0, y_0)\ (x_0, y_0 > 0)$ (계산의 편의를 위해 간단히 잡았습니다)에서 물체를 놨을 때 최단시간으로 떨어지는 곡선을 구해야하기 때문에 결과값이 시간인 범함수를 만들어야 합니다. 이때 중학교 때부터 알고 있던 간단한 공식을 이용합니다.  $ t = {s \over v}$ 이죠. 이때 우리는 곡선을 다루기 때문에 범함수 $L$에 대해 아래와 같이 공식을 세울 수 있습니다.

$$ L = \int_0^{x_0} {ds \over v} $$


이때 이 곡선에서는 역학적 에너지가 보존되기 때문에 아래와 같이 $v$ 를 구할 수 있습니다.

$$ mgy = {1 \over 2}mv^2 \\[10pt] \therefore v = \sqrt{2gy} $$


$ds$ 는 고등학교 기하와 벡터 과정에서 구하는 곡선의 길이 공식을 통해 유도해낼 수 있습니다.

$$ ds = \sqrt{ dx^2 + dy^2 } = \sqrt{1 + x'^2 }\ dy $$


즉, 범함수 $L$은 아래와 같이 나타낼 수 있습니다.

$$ L = \int_0^{x_0} {\sqrt{1 + x'^2 \over 2gy}\ dy} = {1 \over \sqrt{2g}} \int_0^{x_0} {\sqrt{1 + x'^2 \over y}\ dy} $$


이제 오일러-라그랑주 방정식을 봅시다. 범함수 $J$에 대해서 다음과 같이 나옵니다. 이 방정식의 유도과정은 위키백과에 검색하면 잘 나오니 궁금하시면 검색하시면 됩니다.

$$ J = \int_a^b F(x, f(x), f'(x))\ dx,\ {\partial F \over \partial f} - {d \over dx} {\partial F \over \partial f'} = 0 $$


우리의 범함수 $L$에 대해 변형하면 아래와 같이 나옵니다.

$$ F(y, x, x') = \sqrt{1 + x'^2 \over y},\ {\partial F \over \partial x} - {d \over dy} {\partial F \over \partial x'} = 0 $$


이제 쭉 풀어봅시다.

$$ {\partial F \over \partial x} - {d \over dy} {\partial F \over \partial x'} = 0 \\[15pt] {d \over dy} {\partial F \over \partial x'} = 0 \left(\because {\partial F \over \partial x} = 0\right) \\[15pt] {d \over dy} \left( \sqrt{y \over 1 + x'^2} \cdot {x' \over y} \right) = 0 \\[15pt] \sqrt{y \over 1 + x'^2} \cdot {x' \over y} = C \\[15pt] x' = \pm\sqrt{C^2 y \over 1 - C^2 y} $$


$x'$ 꼴로 나왔으니 이제 적분을 해주면 됩니다. 하지만 루트 안에 $y$ 가 있기에 그냥 적분하기엔 불가능할 정도이므로 치환적분을 써줍니다. 중간에 나오는 $\sin^2 t$는 삼각함수 반각공식(삼각함수 덧셈정리 응용)을 통해 풀어줍니다.

$$ y = {1 \over C^2} \sin^2 t,\ dy = {2 \over C^2} \sin t \cos t\ dt\\[15pt] \begin{align*} x &= \pm \int \sqrt{C^2 y \over 1 - C^2 y}\ dy \\[15pt] &= \pm {2 \over C^2} \int \sin^2 t \ dt \\[15pt] &= \pm {1 \over C^2} \int 1 - \cos 2t \ dt \\[15pt] &= \pm {1 \over C^2}\left(t - {1 \over 2}\sin 2t\right) + C'\end{align*}$$


이때 위에 점 $A$ 를 대입해보면 $C' = 0$ 을 얻을 수 있으며 위에 $y$ 의 $\pm$ 은 양수이므로 사라집니다. 좀 더 깔끔하게 정리하기 위해서 $x$ , $y$ 를 정리해보면 아래와 같습니다.

$$ y = {1 \over C^2} \sin^2 t = {1 \over 2C^2} \left(1 - \cos 2t\right) \\[15pt] 2t\text{를 } \theta\text{로 변환시키면} \\[15pt] \begin{cases} \displaystyle x = {1 \over 2C^2} \left(\theta - \sin \theta\right) \\ \displaystyle y = {1 \over 2C^2} \left(1 - \cos \theta \right)\end{cases}$$


여기까지가 일반적으로 알려져있는 사이클로이드 곡선의 식이며 더 나아가 $A$ , $B$ 를 잇는 사이클로이드 곡선의 식을 유도해보겠습니다. 중력의 방향이 $+y$ 방향으로 정해져있기 때문에 $x$축 대칭을 하고 원래 좌표평면에 맞게 좌표를 바꾼 점 $B(a, b)$를 대입해서 정리하면 됩니다.

$$ \begin{cases} \displaystyle x = {1 \over 2C^2} \left(\theta - \sin \theta\right) \\ \displaystyle y = -{1 \over 2C^2} \left(1 - \cos \theta \right)\end{cases} \\[15pt] x\text{축 대칭한 점 } B(a, b) \text{를 대입하고 이때 성립하는 } \theta \text{를 } \theta_0 \text{라 두면} \\[15pt] \begin{cases} \displaystyle a = {1 \over 2C^2} \left(\theta_0 - \sin \theta_0\right) \\ \displaystyle b = -{1 \over 2C^2} \left(1 - \cos \theta _0 \right)\end{cases} \\[15pt] \text{이때의 } \theta_0\text{을 구하는 방정식은 두 식을 나눠서 정리하면 아래와 같다} \\[15pt] {\theta_0 - \sin \theta_0 \over 1 - \cos \theta_0} = -{a \over b} \quad \left(\text{단, }0 < \theta_0 < 2\pi \right) \\[15pt] \text{따라서 이를 정리하면} \\[15pt] \begin{cases} \displaystyle x = -{b \over 1 - \cos \theta_0} \left(\theta - \sin \theta\right) \\ \displaystyle y = {b \over 1 - \cos \theta_0} \left(1 - \cos \theta \right)\quad \left(\text{단, }0 \leq \theta \leq \theta_0 \right) \end{cases}$$


$\theta_0$  같은 경우엔 일반적 풀이방법이 없기 때문에 수치적으로 풀면 됩니다. 저 같은 경우엔 Mathematica 11의 FindRoot 기능을 통해 구한 후 맨 위 이미지를 그려냈습니다.


... 힘드네요 ㅠㅠ(장장 7시간 정도 걸쳐서 쓴....)


  아무튼 이렇게 사이클로이드 곡선이 유도가 됩니다. 당연히 구한대로 실제로 실험해봐도 사이클로이드 곡선에서 물체를 굴릴 때가 가장 빠르게 도착지점에 도착합니다.


참고 사이트

https://ko.wikipedia.org/wiki/%EB%B3%80%EB%B6%84%EB%B2%95

http://mathworld.wolfram.com/BrachistochroneProblem.html

http://zetablog.tistory.com/33

http://mathsci.kaist.ac.kr/~nipl/am621/lecturenotes/Euler-Lagrange_equation.pdf

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  어느날 갑자기 피보나치 수열의 일반항을 구하는 것이 궁금해서 찾아두고, 여기에 제가 살을 몇 개 붙인 내용입니다. 일단 피보나치 수열의 점화식은 아래와 같습니다.

$$ \Large a_{n + 2} = a_{n + 1} + a_n,\ a_1 = 1,\ a_2 = 1 $$


  여기서 두 가지의 방법이 있습니다. 하나는 수열의 특성 방정식을 이용한 풀이와, 또 다른 하나는 고등학교 과정에서(09년 개정 교육과정 이전 점화식 내용) 나오는 트릭을 이용하는 풀이가 있습니다. 순서대로 두 풀이 모두 써보겠습니다.


  일단 먼저 특성 방정식을 사용하는 풀이를 보여드리겠습니다. 이상하게 이 특성 방정식을 이용한 풀이는 특성 방정식이 정확히 무엇인지를 설명하진 않더라고요...ㅇㅂㅇ... 나름 제대로 찾아보려고 해도 잘 안 나와서 위키백과 및 주워들은 것으로 설명을 해보겠습니다. 예를 들어 $a_{n + 2} = pa_{n + 1} + qa_{n}$라는 피보나치 수열과 형태가 같은 어떤 점화식이 있다고 봅시다. 이 점화식은 특성 방정식 $x^2 = px + q$의 해 $\alpha, \beta$를 통해 $a_n = P\alpha^n + Q\beta^n$의 형태로 나타낼 수 있다고 합니다. 한 번 증명을 어느 블로그(클릭!)를 참고해서 써보자면 아래와 같습니다.


일단 특성 방정식의 근과 계수와의 관계를 이용해 아래와 같이 나타낼 수 있습니다.

$$ p = \left(\alpha + \beta\right),\ q = -\alpha\beta $$


따라서 원래의 점화식을 아래와 같이 정리할 수 있습니다.


$$\displaystyle{ i)\ \alpha - \beta \ne 0 \\[10pt] a_{n + 2} = \left(\alpha + \beta\right)a_{n + 1} - \alpha\beta a_n \\[10pt] a_{n + 2} - \alpha a_{n + 1} = \beta\left(a_{n + 1} - \alpha a_n\right),\ a_{n + 2} - \beta a_{n + 1} = \alpha\left(a_{n + 1} - \beta a_n\right) \\[10pt] a_{n + 2} - \alpha a_{n + 1} = \left(a_2 - \alpha a_1\right) \beta^{n - 1}\ \cdots\ A,\ a_{n + 2} - \beta a_{n + 1} = \left(a_2 - \beta a_1\right) \alpha^{n - 1}\ \cdots\ B \\[10pt] B - A\text{ 를 하면},\ \left(\alpha - \beta\right)a_{n + 1} = \left(a_2 - \beta a_1\right) \alpha^{n - 1} - \left(a_2 - \alpha a_1\right) \beta^{n - 1} \\[10pt] \therefore a_n = { a_2 - \beta a_1 \over \alpha - \beta } \alpha^{n - 1} - { a_2 - \alpha a_1 \over \alpha - \beta }\beta^{n - 1} \\[10pt]~\\[10pt] ii)\ \alpha - \beta = 0 \\[10pt] a_{n + 2} = 2 \alpha a_{n + 1} - \alpha^2a_n \\[10pt] a_{n + 2} - \alpha a_{n + 1} = \alpha\left(a_{n + 1} - \alpha a_{n}\right) \\[10pt] a_{n + 1} = \alpha a_n + \left(a_2 - \alpha a_1\right) \alpha^{n - 1} \\[10pt] \therefore a_n = a_1 \alpha^{n - 1} + n\left(a_2 - \alpha a_1\right) \alpha^{n - 2}} $$


이렇게 증명할 수 있고, 이제 이것을 이용해 단번에 피보나치 수열의 점화식을 일반항으로 나타내봅시다.


$$ \text{특성 방정식을 구해보면},\ x^2 - x - 1 = 0 \\[10pt] \therefore \alpha = {1 + \sqrt{5} \over 2},\ \beta = { 1 - \sqrt{5} \over 2} \\[10pt] \alpha \ne \beta \text{ 이므로} \\[10pt] \begin{align*} a_n &= { a_2 - \beta a_1 \over \alpha - \beta } \alpha^{n - 1} - { a_2 - \alpha a_1 \over \alpha - \beta }\beta^{n - 1} \\[10pt] &= { 1 - \beta \over \alpha - \beta } \alpha^{n - 1} - { 1 - \alpha \over \alpha - \beta }\beta^{n - 1} \\[10pt] &= {1 \over \sqrt{5}} \left(\left(1 + \sqrt{5} \over 2\right)^n - \left(1 - \sqrt{5} \over 2\right)^n\right) \end{align*}$$


  그 다음으로 고등학교 과정에 나오는 트릭을 이용해 일반항을 유도해보겠습니다. (사실 특성 방정식 풀이랑 거의 비슷하게 나옵니다) 위의 피보나지 수열 점화식에서 $a_{n + 1}$의 일부를 좌측으로 이항하여 $b_n$ 꼴을 만들어 낼 수 있도록 합니다. 그러면 이제 아래와 같이 결국 특성 방정식에서 나오는 꼴의 점화식이 되기 때문에 이후 과정은 같게 나오고 일반항이 유도가 됩니다.


$$ a_{n + 2} = a_{n + 1} + a_n \\[10pt] a_{n + 2} - \alpha a_{n + 1} = \beta \left(a_{n + 1} + {1 \over \beta} a_n\right)\ (\alpha + \beta = 1) \\[10pt] -\alpha = {1 \over \beta} \\[10pt] \therefore a_{n + 2} = \left(\alpha + \beta\right)a_{n + 1} - \alpha\beta a_n$$


아무튼 이렇게 피보나치 수열의 일반항을 유도해 낼 수 있습니다.


p.s 고등학교 과정 풀이를 유도하다가 아예 $\alpha$ 만 쓰고 풀이를 쭉 전개해봤는데 막 $\alpha^4$이 나오고 그러더라고요 허허.... 위에 풀이 방식대로 하는게 정신건강에 좋습니다.


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  최근에 일품 기하와 백터를 풀다가 삼각함수로 일일히 좌표를 구해서 벡터를 직접 구해서 푸는 문제가 나오더라고요. 이때 선생님께서 회전변환을 알려주셔서 간단하게 정리해보려고 합니다.



  위와 같이 $x^2 + y^2 = r^2$ 인 원이 있고 원 위의 한 점을 $B$ 라고 잡습니다. 그리고 점 $B$ 에서 $x$ 축으로 수선의 발을 내린 것을 점 $C$ 라고 잡고, $\overline{BC} // \overline{AD}$, $\overline{BC} = \overline{AD}$ 인 점 $D$ 를 잡습니다. 이때 $\Box ACBD$ 가 직사각형이 되기 때문에 $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{AD}$ 가 됩니다. $B = \left(x, y\right)$ 라 하면, $C = \left(x, 0\right), D = \left(0, y\right)$ 입니다.


  자 이제, 점 $A$ 를 기준으로 점 $B$ , 점 $C$ , 점 $D$ 를 $\theta$ 만큼 시계 반대 방향으로 회전시킵니다. 회전시킨 후 점들은 각각 점 $B'$ , 점 $C'$ , 점 $D'$ 라고 합시다. 이때 $C' = \left(x \cos \theta, x \sin \theta \right), D' = \left(y \cos \left({\pi \over 2} + \theta \right), y \sin \left({\pi \over 2} + \theta \right) \right)$ 입니다. $\overrightarrow{AC'} + \overrightarrow{AD'} = \overrightarrow{AB'}$ 이므로

$$ \begin{align*} B' &= \left(x \cos \theta + y \cos \left({\pi \over 2} + \theta \right), x \sin \theta + y \sin \left({\pi \over 2} + \theta \right) \right) \\ &= \left( x \cos \theta - y \sin \theta, x \sin \theta + y \cos \theta \right) \end{align*} $$

이 됩니다.


  따라서 어떤 점의 좌표를 $\left(x, y\right)$ , 이를 $\theta$ 만큼 회전변환시킨 좌표를 $\left(x', y'\right)$ 라 하고, 이를 행렬로 정리해보면,

$$ \begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \cos \theta & - \sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} $$

가 됩니다.


... 2차원에서 이렇게 증명(?)한 것을 토대로, 3차원으로 회전변환을 확대시키고 싶긴 한데 제가 기하를 못해서... 당장 머릿속으로는 유도하기가 쉽지가 않네요. 나중에 가능하면 해보겠습니다.


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원래는 이거 말고 다른 주제로 글을 쓸려고 했는데...MathJax가 저만 말썽인지, 다른 블로그에서 소개한 게 틀린 건지 제대로 안 되는 경우가 있어서 MathJax 사용법을 간단히 올려보려고 합니다.


일단 Tistroy 경우에는 수식을 입력하기 위해서 아래와 같이 수식입력 탭이 있습니다.


실제로 이를 이용하여 수식을 작성하면 이미지로 들어가기 때문에 아래와 같이 조금 못나게 수식이 보입니다. 게다가 이미지이기 때문에 확대하면 계단현상을 볼 수 있죠.


하지만 MathJax를 사용하여 이쁘게 수식을 랜더링하면 아래와 같이 이쁘게 나옵니다. 게다가 맘에 드는 랜더링 설정을 아래 수식을 우클릭해서 고를 수도 있습니다.


$$ \zeta \left( s \right) = \sum_{n=1}^{\infty} {{1 \over {n^s}}} $$


또한 이미지로 글자 사이에 수식을 넣을 때는 아래와 같이 별로 이쁘지 않습니다. 위치 조정하기도 귀찮을 뿐더러, 위치 조정을 해도 다른 글자들과 어울리지 않습니다. (저 같은 경우엔 이미지여서 뭔가 이질감이 느껴집니다.)


이 3 이상의 정수일 때, 을 만족하는 양의 정수 는 존재하지 않는다.


하지만 이것도 MathJax로 작성한다면?!?!


$n$이 3 이상의 정수일 때, $ x^n + y^n = z^n $을 만족하는 양의 정수 $x, y, z$는 존재하지 않는다.


크, 아릅답네요.


이렇게 좋은 MathJax를 쓰려면 아래 코드를 Tistory에서 관리-HTML/CSS 편집에 들어가셔서 HTML 코드에서 <head> 태그 밑에 넣어주시면 됩니다.


<script type="text/javascript" async
  src="https://cdnjs.cloudflare.com/ajax/libs/mathjax/2.7.1/MathJax.js?config=TeX-MML-AM_CHTML">
    MathJax.Hub.Config({tex2jax: {inlineMath: [['$','$'], ['\\(','\\)']]}});
</script>


그리고 수식은 $$ TeX문법 $$(한 줄 전체를 차지하는 수식) 또는 $ TeX문법 $(다른 글자들과 같이 사용할 때)로 넣으시면 됩니다.



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